第二次被收录还是有些小小激动的～～～～
原文：@陈皇宇 Renco 你确定问这个而且邀我不是你想面试我么……？我才不信你不懂这个呢～所以既然是面试我，这题我绝不按红宝书标答来答，虽然几次准备面试标答快要背下来了……所以以下答案比较偏学术，偏离标准，随心所欲，许多定义源于学术界，与市面上的定义不同。
BS的坑：BS假设很多问题，什么成本问题啊，利率固定啦，世界不可无限分割啊……这些都是小毛病无伤大雅，修正参数的事。但是BS有个两个致命的毛病：1，lognormal； 2 vol constant
lognormal，也就是return normal 是不符合现实的。因为normal在2阶矩以上的信息可以说几乎是平凡的，然而现实中的分布怎么可能那么好就是高斯分布呢？ 有偏度，有肥尾（峰度），甚至还有“尾偏度”（五阶矩）。这导致我们不能单单用前两阶的参数去衡量一个期权的价格（BS其实就是个二阶）
另一方面，人们长期观察发现，二阶矩（方差或波动率）自己是个”脱缰的野马“(self-dynamic)，别说是不是常数了，连一般的时间函数都不能满足，搞不好还是随机的(stochastic)。因此一般的计算的历史波动率只能在期权刚“拍出去”的时候用一用了，在剩下的时间里，人们只能根据期权价格“反算”一个波动率，这个就是IV。
业界里IV特指BS的IV，也有标准的dupire定义，但是今天我偏偏不这么答！ @陈皇宇 Renco 大神要我问题难道就想听个mark joshi的标答么？大家看我的的简介：G_t测度， 这个是IV所属的一个专有测度，估计皇宇大邀我想必是看到这个特殊的记号了吧。于是乎……二阶矩的世界（framework）：首先在这个世界里，我们约定俗成一个规则：所有资产都被鞅化。这是因为我们在考虑波动率的时候，现在把它当作一个独立的含时间参数的变量，他不和一阶的漂移发生任何关系。所以以下讨论的期权全部都是期货期权“future option” ，不管用了什么符号表示资产。
首先一笔带过一般的 IV定义 （计算时太长了不写了）：就是代入参数是的期权价格和市场价格相等的波动率，在BS下没有参数，sigma自己就是参数
然后引入Dupire自己的G_t测度框架，首先我们将鞅化之后代表二阶项的方差分离出来：，这个是St过程自己的瞬时（仅在t刻）二次项。这个变量是local的，你可以认为不带任何的“波动”的性质，而仅仅作为一个二次缩放倍数。
再引入自带的dynamic的脱缰野马，“瞬时波动率系数”：，这是，在给定分布下，二次项被波动率系数给缩放了，这一步可以认为是vol决定的（如果vol本身是随机，拿着一项也是随机的，然后求了期望）。
在t时刻，实际上的vol缩放是上面二式的比值 即 dynamic倍数/local倍数，这样比出来我们才能得出实际波动率被带动的变话部分：这个极特殊的测度，我么称之为G_t测度所以，self-dynamic下IV的严格定义式为：式中的gamma用哪个模型表示，就是哪个模型的IV
之所以称之为一个测度，是因为下面的local项，不但修者了波动率变换本身，其实还修正了价格的概率密度，相当于对价格概率密度做了每一时刻的RN导数都为： 的测度变换，修正了二次项的影响。
之所以这么做是因为波动率自己“太脱缰了”（可单独作为一个变量，需要专门被测量，甚至是随机的），脱到我们不能用一般的价格模型去去衡量它。而且波动率自己的变换会直接影响到扩散项的瞬时变换（gamma），导致了我们为他专门建立了一个测度。（注意，和中性测度变换不同，这是一个修正二次项的缩放变换，而不是平移变换）
也因为这种“脱缰性”，让波动率成了一个独特的能衡量期权的不确定的参数。给出一个模型的IV好于直接给出那个模型下的价格，因我们不但能用它交易（作为报价），还能用它直接算出这个期权独有的特性。如果用在奇异期权上，我们可以很直观的看出他比一般期权“更加不确定了多少”或这“贵了多少”，用IV带入一般的数值法敏感度分析（比如MC，FDM，路径法）算出的Greeks也更加切合市场上的报价（奇异的Greeks很难很难算，而且很容易算错）。当然也包括了后面要说的曲面斜没斜，笑没笑，”volga风险“。 这些是价格给不出来的。
魔王的微笑：在市场中，vol有一种被称为“杠杆效应”的现象。即价格变化已经很大的时候，人们会认为波动率比实际的要大。尤其当价格下跌的时候，人们会认为这个资产更有“风险”（也即是quantile loss更大）。这一现象，再加上上面是所说有些资产分布自带肥尾的特性，构成了一种“人们认为”波动率会放大的现象，也就是smile和倾斜。
上面当然是标答，然后这当然没有完。因为黑猫认为不从“凸性”角度来将这两个概念是耍流氓的，不quant的！
由于期权的报价自带了两个变量，执行价格和到期日。所以很自然，每一个价格和到期日都对应这个一个IV。两个维度一个值，很容易就能想象，每个资产会对应一个曲面：
关于笑和斜，我们想要这两个形状和一些概念发生关系，需要借助和他们最为贴近的函数凸性：
函数对于一个参数的凸性是由他的对这个参数的二阶偏导决定的，所以这里我们也定义一个二阶偏导： 其中
有了凸性，skew和smile就好定义了：我们定义 skew专指ATM附近（gamma交易员微信号给了一个.9 到 1.1 ATM的范围） 对 的偏导数或者干脆就指ATM处 对 的偏导数我们再定义 smile为： 偏离执行价格的是 凸性变大的现象 （可以用 straddle价格衡量）
不过讲真，单一信息说明的还是有限，所以对trader，能直接给丫看曲面就给丫看曲面，直观简单。
关于曲面的形态，这是个有意思的话题～简单来说对于即期（T->0)的曲面（也就是曲线）， 决定隐含形态的主要是两个属性：1.二阶矩和四阶矩变量的相关性2.波动率的波动率
首先曲面会在ATM附近达到以低点（在ATM点不一定达到，所以他那一点偏高还是偏低可以侧面反应倾斜程度，这也是什么skew也以用ATM凸性衡量），然后会根据两边的尾部特性而选择性“翘起来”（这里不用峰度衡量，是因为峰度是衡量两个不同尾部的，而实际上左尾和右尾的胖度是不同的，可能涉及五阶矩“尾偏度”）
在ATM处，我们甚至可以有丰富的表情包：
往左边，可能人们的恐慌会加剧一些，也就是凸度的绝对值会大一些。所以正常看到的曲面，左边笑的都比右边弯：
魔王的微笑，夺走了多少社会的稳定……
随机致富傻瓜：原则上，根据call-put平价，他们的IV应该是一样的。而实际上，因为IV可以反映人们的报价波动率，在类似多空预期失衡的时候人们会很自然的用脚投票，波动率会反映出他们的心理预期。在大家抛售砸价的时候，认为一定会下跌的预期自然会让put比平时更贵。
请原谅黑猫谷歌了一下，在1987年黑色星期一之前，大家还认为波动率是没有skew的。然而危机到来时所带来的put执行概率必然提高，直接亏死了put的卖方。这个时候人们才意识到，看涨看跌的波动率是不一样的。人们的预期，报价和市场上的供需行为将必然影响价格从而影响IV；同时一些额外费用和成本如果没有加以修正便加入了价格里，也会推高IV（比如现在国内ETF高的离谱的put iV）。
这种人人避之不及的在灾祸里确有一些随机致富的傻瓜，创造性的想出了低价收购垃圾期权（超深度OTM，基本不可能被执行），以平时流血的代价换来危机时的超额收益。是的，我说的就是Taleb，黑天鹅这个词就是这个哥们发明的。
吐槽：
这也算陈博士 @陈皇宇 Renco 对黑猫在知乎上的在线开卷笔试的答卷了，只是硬生生让黑猫写成了段子。波动率的东西，远远还没有发展到非常成熟的阶段。Gatheral大仙也说了：There is still plenty more to do~
