所有的一元n次代数方程的韦达定理的推导，都是将其因式分解，展开，比较系数得来的
设 上的多项式
假设它在 上有 个根
（重根按重数计算）
那么 可以被因式分解成
现在将其展开并对比 （ ）的系数，显然可得：
对于一般的 项，明显有：
其中 是从 中任取 个自然数按照从小到大顺序的一个排列
最后两项则为：
这就是一元多项式方程的韦达定理，它表示了多项式的系数与它的根的初等对称多项式之间的关系
其中 都是 元对称多项式，它们被称为初等对称多项式或基本对称多项式.
关于韦达定理，有两个常见的误解：
一是误以为只有一元二次方程有韦达定理，这会低估韦达的水平
实际上韦达不仅给出了几个低阶一元代数方程的韦达定理，他也猜到了一般的一元n次代数方程的韦达定理，只不过没有严格证明，而且因为当时理念的限制，只将其用于全是正根的情形，排除了负根和虚根
另一个常见误解就是误认为要得到韦达定理，必须要得到代数方程所有根的表达式，这当然也是错误的
韦达定理当然不是用求根公式推的，而是通过对一元n次代数方程展开比较系数得来的，所得到的结果是关于所有根的初等对称多项式
实际上，正如前文的推导，普通的五次及以上的一元代数方程就没有可以写成根式嵌套形式的求根公式，但不管几次的一元代数方程都有韦达定理
历史上，古代中国、印度、波斯、阿拉伯的数学家，都曾研究过低次代数方程的根的问题，以数值解为主，取得过不少成果
波斯、阿拉伯的一批数学家，比如著名的Omar Khayyam（峨默）、Sharaf al-Din al-Tusi，在这样的研究中，已经初步知道一些判别式的应用，以及根与系数的关系了
而最早系统性给出所有一元n次多项式方程的根与系数的关系的，自然是法国数学家韦达（François Viète，1540——1603），所以这也被称作韦达定理
不过韦达当时仅认为这个定理对正根适用，而没有考虑到对于负数根乃至虚根的适用性
之后，同样是来自法国的数学家Albert Girard（1595——1632），第一个把它推广到整个实数域上的
Girard还初步意识到，对于虚根，韦达定理也是适用的
（当时数学家才发明虚数没多久，还没有广泛接受这个概念，更不用说研究虚数的结构、性质，乃至开创复分析这个分支学科了）
Girard也是最早意识到代数学基本定理的人：
根据代数学基本定理马上就能够推出，一个复数域上的一元 次代数方程（ ）恰好有 个根（包括重根）
但在当时，他无法给出严谨证明
由韦达定理给出的这些多项式，在代数学之中非常重要，有个专有名词：
叫做初等对称多项式，又称基本对称多项式
而最早给出n元对称多项式可以表示成初等对称多项式的多项式这一结论的，正是数学史、自然科学史上的传奇人物——牛顿
再往后，法国数学家范德蒙德（1735——1796）和拉格朗日（1736——1813）可能是最早注意到可以用初等对称多项式去研究高次多项式方程的根式解的数学家
他们是最早开启近世代数这一领域的数学家
到了这一步，其实还有一点不完美，那就是代数学基本定理还没有被证明
之前的韦达定理，其实是需要假设有n个根存在这一条件的
从后来的抽象代数的视角看，这实质上就是在构建那个代数方程的分裂域
那你能直接一劳永逸地证明复数域上的一元n次代数方程必有且恰好有n个根吗？
要证明这个，首先得证明代数学基本定理，即复数域上的一元n次代数方程必须有根
而这，要一直等到高斯，才得以证明
