多谢邀请，抱歉拖延的有点晚了，作为一枚年轻老师，我懂得也不多，尽我所能说点我知道的吧。
要说教师的分类，我们先来讲一讲学校的分类。第一类是教育局直接下属的学校，比如某某地的一中，二中，实验学校等等，我们简称社会学校。第二类是单位的附中附小等等，比如陕师大附中，不归教育局直接领导，由大学进行管理。第三类就是完全民办的学校，比如某某企业所办的学校，或是联合办学。
有编制的老师当然多数存在于社会学校中，算是体制内的人，工资由国家财政下发，保险和公积金也由财政支出。那么如何得到编制呢？对于六所教育部直属的免费师范生（北师大，华东师大，华中师大，陕师大，东北师大，西南大学），国家政策是只要达成双向选择的意向，并且该学校有分配下来的编制指标，就可以得到编制了。但是如果你不属于免费师范生，就必须通过招教考试，考取某地的某学校，成为有编制教师。（楼上的马老师就是这个类型哒～）编制又有什么好处呢？好处在于稳定，一般没有特殊情况是不会随意解聘老师，收回编制的。
我们学校属于第二类，是大学的附中。我们学校也有少数老师有编制，这个编制不属于教育局，而是大学的编制。大学附中建设初期，会给老师分配一些编制。但是后期就不会有，比如我们应聘到这边，校长很明确地告诉我们，学校只有几十个大学编制，不可能轮到我们，所以大多数老师都是人事代理关系，也就是题主所说的合同制。合同制在第二类学校做的是比较规范的，签订合同，由学校发工资，保险和公积金自己和学校共同支付。这个虽说比不上有编制的老师，也是相对稳定的。同时，学校也会招收一些临聘教师，这个大约相当于题主说的代课教师。没有合同，没有保险和公积金，工资由学校发。这个就不稳定了，呆得好好的就罢了，出个问题就有走人的可能性，并且也不可能随着大家一起评职称，工资档次低人一等，也没有在学校决策中选举的权利。那么，还要这些老师做什么呢？假如学校招人，对这个老师不是特别满意，就可能说，先待着吧，我们一年一考核，合格了再转正签合同。另一种情况是，这位老师在其他地方有编制（实际上不符合规定，却也是现状），来临时代课。这些具体情况，还因学校而异。
总结下来，待遇和地位，有编制最优，下来是合同教师，临聘则最低，而自由度反之。当然也不全是如此，现在城市很多学校，都不能给新进老师提供编制，待遇也不可能都降一个档次，事实上这些老师才是教学的中坚力量，所以通常按劳取酬，多劳多得，任务重，收入也不低。
最后一类民办学校，我就不是很了解了，不敢妄言。但从理论上讲，就没有国家编制了，多数应该是合同制。民办就一定不好吗？其实未必，西安高新一中可就是民办的。工作强度大，待遇也非常可观了。
对了，最后还有一点，编制教师的档案在当地教育局或者人事局，而合同制教师的档案放在当地的人才交流中心，职称流程也不一样。但是自我感觉上没有什么区别，教书育人都是一样的，哪个学校哪种方式，是个人的选择。稳定是一种追求，登高，再登高，甚至辞职去看世界，都是追求。这不就是丰富多彩的世界呢。
