利润函数是利润最大化的解，即
那么一阶条件有 ，就可以解出要素需求函数 ，即关于产品价格和要素价格的函数。把要素需求函数带回 ，就得到了利润函数 ，也是关于产品价格和要素价格的函数。
但是只有规模报酬递减时，利润最大化才有解，即可以求出利润函数。所以对于L和K的指数相加等于1的情况下的柯布道格拉斯生产函数，为规模报酬不变，没有利润函数。此时如果有最大化利润，一定为零，证明如下：
设 规模报酬不变，且在 处取得最大利润，那么现在等比例增加要素投入，即 有 ，即增加要素投入的生产情况，取得了更多的利润，与在 处取得最大利润矛盾。这样只有最大化利润为零时，才会成立。
同理可以证明规模报酬递增的情况下，没有利润函数，因为只要扩大生产规模，产量增长比成本增长快，利润就会上升。
那么对于柯布道格拉斯生产函数 ，有
那么 ，则有 ，即 ，带回 中任意一个，就可解出 的表达式，即资本需求函数， ，劳动需求函数求法类似，注意 。
这是因为 无意义；而如果 ，则 （很明显， 在分母上，且指数大于0），这意味着产品价格上升，厂商对资本的需求反而下降了，不符合常理。理论上，产品价格上升，厂商应该增加产量，这样对要素的需求应该是上升的。
