先说结论：相似矩阵代表同一个线性变换在不同基下的表示。有人可能会问，既然你已经说过很多次，矩阵代表线性变换，所以相似但不相等的矩阵，不也代表不同的线性变换吗？实际上，代表的可能是向量，也可能是向量的坐标。在前者意义下，坐标相等就是向量相等的充要条件；而在后者意义下，两个坐标不同的几何向量，也可能是相等的。同样的道理，同一个几何线性变换对应的坐标变换矩阵，也是不唯一的。大家需要把这个弯转过来，才能明白我接下来的东西。为方便区分，我们用 代表一个几何向量，而用 代表它的坐标。
我们先看同一个几何向量，在不同的坐标系（基）下的坐标之间的转换关系。假设 在基 下的坐标为 ，线性变换 在基 下的矩阵是 ，那么 ，那么 ， 在这一组基下的坐标是 。
如果改变基矢量，那么坐标转换的矩阵会变成什么样呢？通过过渡矩阵 ，我们得到一组新的基 。易证， 在这组基下的坐标为 ，而 在这一组基下的坐标是 。为了让坐标转换关系更加清晰，令 ，那么 。这样，我们就得到了，坐标转换矩阵变成了 。也就是说， 和可以代表同一个线性变换！
这就是为什么我经常提到，相似对角化的本质是把复杂的线性变换，转化为伸缩变换。本质上，还是因为相似的矩阵代表的线性变换是相同的，相似对角化，只是把一组标准正交基，转化为了特征向量方向上的一组基。
如果你前面一直没看明白，我这里这里贴下3b1b的两张图（黄色和绿色是特征向量），进行更直观的解释。从中我们可以看到，矩阵表达了对特征向量的拉伸变换。在以特征向量为基的坐标系里面，这个线性变换使用原始矩阵 的相似标准形 表示的，但是它们代表的线性变换，都是上面那张图到下面那张图的线性变换，是同一个。因此，相似矩阵代表同一个线性变换在不同基下的不同坐标转换关系。
