这个问题竟然没人回答。没看过相关论文，只根据我自己的理解回答。
尺规作图正n边形的核心问题在于圆心角的余弦值 的计算。
1. 先举几个简单例子，正三边形（正三角形）、正五边形对应的余弦值为
圆规可以画出一个圆，设该圆半径为1，用勾股定理可以作出 ，加法、减法、减半之类的操作自不比多说。
2. 高斯的正17边形(1796)
圆心角的余弦值为
以上公式很不直观，经过几次换元即可
以上的每一个式子均对应两三步尺规操作，或是加减、或是开方、或是取半。
3.Friedrich Julius Richelot和Schwendenwein的正257边形（1837）
公式如下
4. Johann Gustav Hermes的正65537边形（1894）
公式过于复杂，由四千多个公式组成，参见我的另一篇回答
数学史上你认为最丑陋的公式是什么？ - 笑横野的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/21400777/answer/2158173156
ps: handwiki上有个德语网页讲正65537边形的，可惜没看懂
------------------------- 2021年10月12日 修改 -------------------------
包含根号的中间项实际上是一些一元二次方程的根，可以用一种叫做Carlyle Circle的尺规作图方法得到。
