省流版本：初等函数是能够包含『有理函数』的最小微分域，即『复有理函数、对数函数和其对偶的指数函数及其复合函数』的结果。
更常见的说法是『常幂，对指，三反』及其复合函数，但这种说法实际上忽略了初等函数的共性，给人带来一种『钦定』的感觉，让人觉得这似乎是数学家们开了一场会然后随手列举了一些函数作为初等函数。更重要的是，这类说法实际上也模糊了引入『初等函数』概念的动机，使得很多人会试图引入一些新的『看似初等』的特殊函数。比如本提问下的某些回答试图引入的函数。
但实际上，『初等函数』并不是选取了某些常用的函数作为积分的基本元素，而是在试图构造一个能够包含『有理函数』的最小微分域。
我们可以把函数按照能不能写出表达式分为两类：可以写出明确表达的『代数函数』和无法写出表达式的『超越函数』。但『代数函数』对于积分而言是不封闭的：反比例函数的原函数是无法用代数函数表示的。想要表示则必须引入『对数扩张』。之后，再引入与『对数扩张』对称的『指数扩张』，便构成了我们熟知的『初等函数』。我们也称『对数扩展』和『指数扩张』为『初等扩张』。
至于其他回答提及的『三角函数反三角函数』，则是实际上都是『初等扩张』在复平面上的线性组合的结果，比如：
讲初等函数的内涵，那么我们可以直观地想一下函数大概是个什么东西。
我们知道函数有三要素：定义域，自变量x的范围；值域，因变量y的范围和对应关系，其中对应关系往往被我们视作函数最核心的要素。那么，最基本最简单的函数是什么样子的呢？
——大概是『最普通』的自变量和『最简单』的对应关系构成的吧？
也就是这样：
这里对于自变量不存在任何的限制，所以我们可以自然地将其从实数扩展到复数。
有了这个看起来最简单最基本的函数，那么我们自然地想要以其为起点，找到更多的函数。那么最直白地想法就是通过加减乘除的方式：从而可以得到以下的多项式函数。具体来说，这是对自变量x和常数进行有限次的加减乘除的结果：
这些函数因为他们都是有理式，所以被统称为有理函数。这样我们就找到了一些直观上最经典的函数。接下来就是一些自然地扩张：首先是有理函数实际上要求函数的幂次只能为正整数，这一点可以自然地扩张到有理次幂，这便涵盖了所有的幂函数。
到此，我们现在对函数建立一个初步的印象，涵盖了所有的『常数与自变量相互之间有限次的加、减、乘、除、有理指数幂的函数』。我们给这些函数起一个名字，由于这些函数我们都是可以显形地写出解析式(代数式)，便于我们直接代入数字求特定的函数值，所以我们可以将其称之为『代数函数』。这也是我们从形式上定义的最简单最基本的函数。而无法直接写出代数式的函数被称之为『超越函数』。
那么，这些『代数函数』是不是就应该就是所谓的初等函数呢？
在我们结合『微积分』的背景之后，我们会发现事情并不是这样的：上述代数函数对积分是不封闭的：我们对最简单的『反比例函数』进行积分，其结果是不能通过代数函数来表示的。
那么，如果我们想要积分的结果至少能包含所有的『有理函数』，我们必须要增加现有的函数，或者说得数学一点，就是需要对现有的函数域进行扩张，至少使得『反比例函数』的原函数被包括在内，否则最为基本的『有理函数』的积分结果都不可能为所谓的『初等函数』所表示，那这个『初等函数』的概念也就确实没有什么存在的必要了。
所以为了解决封闭性，我们至少需要引入反比例函数的原函数：对数函数。那么，实际上我们也就会自然地引入其对应的反函数：指数函数。
当上述两种函数参与复合之后，实际上起到了以下的效果：
对数型扩张构建了『导函数和自身的商』，指数型扩张则构建了『导函数和自身的积』，从而实现了有理函数在初等函数范围内积分的封闭性。
所以实际上我们只需要『有理函数、对数函数和其对偶的指数函数』便能够涵盖所有初等函数。但初等函数本身在初等函数内仍旧是积分不封闭的。
但实际上，当我们刚接触微积分时，我们所接受的说法往往都是『常幂，对指，三反』，还多了一族特殊的三角函数。
但实际上这只是因为三角函数本质上只是指数函数在复平面中的部分。比如开头提及的例子：
二者之间更细致的关系可以参考：
1，三角函数的复数表示
2，有理函数
3,代数函数
4,引入对数函数与其反函数：
