“函数可导，其导函数是否一定连续”？这个问题的答案是，不一定连续。
有些同学我估计审题就审错了，把这个问题看成了“可导是否一定连续”。排除开这种粗心大意的情况，这个问题还是有点反直觉。首先，看着函数研究它的导函数，本身就隔了一层，需要一些想象力；其次，这个导函数并不普通。
1 可以间断的导函数
讲到不连续，我们脑海中的图像应该是这样的（可去间断点）：
或者是这样的（跳跃间断点）:
还有这样的（无穷间断点，我觉得看起来就好像飞机的尾迹）:
但是这三种间断点都不能作为导函数，换句话说，存在这三种间断点的函数没有原函数（文章最后会给出证明）。
只有下面这种间断点可能有原函数（振荡间断点）：
至此，我们总结一下（原函数存在法则还是很重要的，虽然《高等数学》同济版上没有提到）：
由于导函数存在的间断点的特殊性，并且振荡间断点是很难想象的（间断点的图像实际是画不出来的，现实中我也想不出有啥对应物），所以我们往往觉得“导函数必定连续”。
下面让我们来研究一下振荡间断点以及原函数存在的情况。
2 振荡间断点的产生
是一个我们非常熟悉的周期函数。它的周期为：
而是非一致连续的函数，这个函数有个特点：
具体关于一致连续的问题还请参看 函数连续和一致连续有什么区别？开区间上的连续函数不一定是一致连续的，为什么？ 这篇文章。
所以这两个函数结合起来之后，成为 之后产生了化学反应， 越靠近0，其震荡越厉害，可以自己动手试试：
最后就形成了这样的图像，我们已无法判断函数在0点附近的几何图像：
此时函数在0点振荡间断了。关于 在0点不连续的代数证明可以参看 如何通俗解释海涅定理？ 这篇文章。
3 从振荡间断到连续
将上述函数稍加改造：
因为 ，所以 ，所以我们用夹逼定理很容易证明我们在上图中构造的 在0点处是连续的。
当我用夹逼定理来看待 的时候，从几何上看就好像夹板把这个弹簧的压缩了一样，下面这个互动我可以玩一天：
可以看出在0点附近， 被夹板压缩了，想振荡也没有空间振荡了，被逼的连续了。
我们继续推一下:
从上面这个式子我们可以看出， 的导数和 、 的导数大有关系。
根据夹逼定理，若夹逼的 、 函数在此点导数存在且相等，则函数在此点可导，导数值为夹逼函数在此点的导数值,我们暂且称它为夹逼定理之导数版。
很遗憾，上面的看法是错误的，根据夹逼定理， 与 不存在的时候，必须用别的方法去判断 ：
，即 在 点并不可导。
4 从连续到可导
继续改造 ：
我们容易推出， :
至此， 终于可导了，但是它的导函数：
用海涅定理也很容易证明：
取 。则:
这个极限是不存在的。因此 在 处极限是不存在的，继而 在 处不连续。
5 构造多点不连续的导函数
上面我们从一个周期性函数 ,和一个非一致连续的函数 出发,构造出了导函数具有一个间断点的函数。
我们还可以据此，构造出导函数具有两个间断点的函数：
它的导数图像如下:
根据这个方法甚至可以创造导函数具有无穷多个间断点的函数。
6 原函数存在定理的证明
试证明：含有一类间断点、无穷间断点的函数 在包含该间断点的区间内必没有原函数 。
证：假设 为 的原函数 ，设 为间断点，分情况讨论：
(1) 设 为第一类可去间断点，有 。而 ，使用洛必达法则得到 ，即 ，矛盾，所以 不存在。
第一类跳跃间断点和无穷间断点同理可证。
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