关于Legendre符号和二次互反律其他答主已经说了很多了,这里主要给出一个有趣的事实:
那么,什么叫“二次域上的互反律”呢?
设 , 和 是素数,并且 (即排除掉 或 分歧的情况),那么: 时, 和 在 中有相同的分解形式(都是惯性的或者都是完全分裂的).这就称为“二次域上的互反律”.如果读者知道数域的导子这个概念的话,上述二次域上的互反律实际上可以从 的导子就是 推出.
下面给出证明过程:
我们可以将 选成无平方因子的,所以不妨设 ,其中 是一些不同的素数,并且设 ,排除掉平凡情况.
如果 中有一个是 ,那么由 ,可知 是奇数,从而 .
先不考虑 或 是 的情况,并且设全部 都是奇素数:为使得 和 在 中分解形式相同,因为它们都不分歧,我们只需要证明 因为 是奇素数且 ,我们知道 由二次互反律得到 将这两个式子相除,并整理一下,就得到 如果 那么当然有
如果 ,那么这只可能出现在 的时候(否则与 矛盾),此时 是偶数个 的素因子和若干个 的素因子的乘积.
对于 ,当然也有
对于 ,由于这样的素因子有偶数个,我们将它们两两配对,比如 是一对,那么 所以无论如何,最终乘起来, 成立.
现在再看看 的情况,此时 是奇数,并且 ,从而每个 都不是 .
如果 ,那么 完全分裂,且 的素因子里面 的都有偶数个,仍然进行两两配对,如 是一对,类似上面可以得到 于是 由二次互反律得到 从而 对于 的素因子,一样得到 ,于是 ,所以 与 相同,在 上完全分裂.
如果 ,那么 惯性,类似地可以得到 所以 与 相同,在 上惯性.
最后我们考虑 的情况,此时 ,根据 同样得到
于是综上所述,“二次域上的互反律”成立.
