先问是不是，再问为什么。
答案是：OTL的蒋介石用不着像题主设想那样把白崇禧撤职，就成功地调动了宋希濂兵团。然而，宋希濂兵团却被我军地方部队重创，力量大损，以至于没发挥什么作用；且该兵团战斗力很差，就算全部东调，大概率也无法给黄维兵团解围。
很多人包括电视剧《大决战》都说过这样一个段子：蒋介石企图调动宋希濂兵团东进，却被华中剿总的白崇禧阻挠。甚至于，宋兵团抵达武汉后，还被白崇禧派一个警卫团阻拦不许登船东运，云云。这个段子是否属实，白崇禧是否曾拖延、阻挠宋兵团东调，我暂未查实；但有一点是可以肯定的：即便存在此事，最终蒋介石还是成功调动了宋兵团的部队。
首先我们来看看宋希濂兵团是什么样的一个存在：1948年7月2—16日，我中原野战军第六纵队、陕南军区、桐柏军区三者联手，短短半个月就攻占襄阳、樊城二重镇，全歼了国民党第十五绥靖区，导致国民党军在南阳的第十三绥靖区王凌云部陷入围困。
为此，1948年8月3—7日，在南京召开了军事会议，决定重整华中剿总。在会议上决定成立第14兵团，司令官为中央军嫡系出身的宋希濂（黄埔第一期毕业生）。该兵团拟在襄宛一带作战，沿汉水打通与第十三绥靖区的联系，进而出南阳进入豫西作战。其作用类似于南北朝时期的雍州刺史、宋代的京西南路。这就是宋兵团的来历。
1948年8月中旬，宋希濂抵达汉口（今湖北省武汉市汉口区）组织了第十四兵团司令部和直属队。华中剿总把整编第20师和整编第28师（9月，恢复20军和28军番号，以下直称20军、28军）划给宋希濂，一共5个整编旅、10个步兵团的兵力。其中，20军为川军杨森部，其军长杨干才为杨森侄孙，内部一直维持杨氏的封建家族式支配；28军为湘军何健部，但在抗战中已经基本上中央化，可以认为是中央旁系军。9月恢复军番号后，两个军开始扩军，每个师扩编到三个步兵团，这样全兵团就扩编为15个步兵团，但淮海战役开始时新的步兵团尚未齐装满员，所以该兵团实力为10—15个步兵团。
1948年9月，也即兵团成立大概一个月后，宋希濂的兵团司令部和直属队组建成功。于是，宋希濂按计划向西进军，把兵团部迁到了沙市（今湖北省荆州市沙市区）。他在这里指挥杨干才带20军占据空城襄阳后就地驻防；顾心恒带28军进至应城一带封堵张才千的江汉军区西进，并配合华中剿总主力围剿江汉军区（白崇禧的主要注意力始终放在围剿中原我军的江汉、鄂豫、皖西三军区）。这时候其兵力相对我军来说，也依然并不雄厚：当时，我军陕南军区有两个野战旅（第12旅和西北民主联军第17师）、桐柏军区一个野战旅（独立旅）、江汉军区一个野战旅（独立旅），仅军区野战旅就有12个步兵团，实力不亚于宋兵团（中野六纵离开之前还有野战军6个步兵团合计18个团，陕南12旅跟随六纵离开后也有9个步兵团）；此外各军分区还有主力团20—30个（仅计算宋兵团防区），折合野战旅步兵团十几个。以上合计约20团实力，县大队、军事指挥部等尚不计（因为国民党军也有保安团、自卫队等行政系统地方武装对付这些部队）。宋兵团维持汉江流域的防御压力非常巨大，根本就自顾不暇。
淮海战役开打前，国民党军也意识到这一地区防御压力太大，决定收缩。其具体部署是：第十三绥靖区王凌云部，放弃南阳撤到襄阳；第79军（陕军/建国豫军樊钟秀部，中原大战后中央化，当时为中央军旁系）从陕西绥靖公署调华中剿总，加入宋兵团，驻防荆门，作为宋兵团的预备队。
然而计划没有变化快，第79军还没有全部抵达荆门、王凌云也没完成南撤，淮海战役就开打了。按照宋希濂部下师级军官陈康黎在《宋希濂集团在川湘鄂地区的扩军和覆灭》中间回忆，此时宋兵团可以说处境十分被动：
不过这个回忆文章有不少地方有错误。比如方靖的79军在文章里1948年9月就出现在宋希濂麾下了，还被安排了任务；然而实质上该军虽然在9月就被转隶，但由于各种拖延再加上步行经川北、陕南开进湖北，所以直到1948年11月才抵达华中。然而，综合其它史料可以看出，文章中描述宋兵团各部大的行动轨迹还是不错的。
首先是顾心恒的28军，该军在1948年10月底的应城战役中遭到我江汉军区歼灭性的军事打击，军部被歼灭、顾心恒本人被俘：
顾心恒的军部、直属队、五个营（接近两个团），被江汉军区张才千、李人林、刘建勋指挥的六个团（其中三个是军分区小团，实质全部六个团只相当于五个大团）花了不到两天就解决了。这样，该军的中枢就宣告瓦解了；非但如此，该军的其他各师，也在别的据点遭到江汉军区其他地方部队打击，损失惨重，被消灭的部队超过了全军的三分之一，可以说被重创。在这种情况下，“华中剿总看到该军已溃不成军，便将其调到鄂东蕲黄附近整补去了”也就可以理解了。然而要命的是，该军1948年10月26日遭到歼灭性打击，仅仅10天后淮海战役就开打了，该军已经来不及完成重建。所以，整个淮海战役基本上都在重建中的该军，当然也就不可能被调去驰援黄维。实质上，该军重建成功后，还是被调往南京守江防了，可见不存在调不动的问题。
然后是杨干才的20军。文章中说杨干才是10月被调走的，其实自相矛盾。黄维兵团是11月24日才被包围，黄维更是到26日才发觉此事，所以根本谈不上10月调兵救黄维。抽调宋兵团救黄维，显然是11月26日以后的事。此时，王凌云的第十三绥靖区也于11月4日开始放弃南阳撤退，在宋兵团的杨干才等部接应下成功抵达襄阳。此时，才谈得上抽调宋兵团去救援黄维（宋兵团原来接应王凌云并出豫西的任务已经不存在，防区则可以顺势交给王凌云部）。那么宋兵团有没有被白崇禧全部扣住呢？答案是否定的。杨干才的20军把襄阳交给王凌云后，迅速南下到武汉坐船东下南京，再转淮北前线，1948年12月中旬已经抵达蚌埠，跟李延年、刘汝明两个兵团一起归刘峙指挥北进救援黄维。从这个意义上说，调宋兵团部队救黄维一事，分明是实现了的。只不过12月15日黄维兵团就被歼灭，杨干才在前线来不及发挥什么作用。
至于79军，由于刚从西北转隶，所以本来就不在调动之列，1948年11月还一度从宋兵团曾转隶到新成立的第一兵团陈明仁部。不过由于宋兵团的兵团部没离开华中，最终应该是没有实际调走。
最后是宋兵团的兵团部为何没有调走。答案很简单，不是白崇禧扣住它不放（白巴不得宋这个中央军将领跑路），而是宋希濂自己畏战惧战赖在鄂西不愿意走：
蒋介石自己同意了宋希濂留在鄂西，继续指挥79军和王凌云的第13绥靖区。因此，指挥机构和直属队自然也就留下。
综上所述，白崇禧没有也不可能完全扣住宋兵团。宋兵团指挥机构清一色都是中央军嫡系人员，下属各军不是中央旁系就是川军，并没有任何桂系或程潜系统（桂系盟友）部队，白崇禧根本不可能指挥得动，当然也更谈不上扣住。当时，华中剿总左翼汉江流域形势严峻，国民党军在襄阳战役后面对解放军陕南、桐柏、江汉三个军区毫无数量、质量优势，被这几个军区的地方部队吊起来打，只有招架之功，连龟缩防御也都是自顾不暇，当然很难救援黄维。从这个角度来考虑，则白崇禧反对从华中调兵并不完全是师心自用，实在是也有他的道理。虽然如此，蒋介石还是成功地把宋兵团最初的两个军从华中调走了，但是28军自己不给力在大战前夜被江汉军区地方部队打掉军部和三分之一多的部队，不得不重整，无法参战；20军则顺利赶到前线，但解放军进展太快，最终没派上大用场。
白崇禧在这件事中的作用，并不像段子里说得那样公然抗命乃至于武力对抗，最多只是消极拖延，最终也未成功，只保住了刚抵达华中的79军。国民党军经过抗战以及抗战后整编，军阀的力量已经下降，白崇禧在华中能如臂使指的主要是第三兵团张淦部、第五绥靖区张轸部（后来增加第一兵团陈明仁等部，然而不久程潜又跳船到我方去了），其余诸如黄维、宋希濂、王凌云、霍揆章、康泽等将清一色是中央系背景，根本不是白崇禧所能够指挥得了的，更谈不上扣押。华中战斗力最强的黄维兵团东进，白崇禧不也无法“扣押”吗？
结论：
白崇禧抗命扣押宋希濂兵团的段子，过分夸大了国民党军内部的派系矛盾，夸大了抗战后军阀的割据性，也夸张了白崇禧此时的权力和实力。
经过分析，我们已经看出：白崇禧基于本位主义（华中战局的恶化）和派系利益，固然反对从华中剿总，但他对于麾下的中央军或中央旁系部队没什么控制力。蒋介石调动宋兵团麾下两个军的计划，完全实现了，只给白崇禧留下了一个刚从西北抵达的弱军。宋希濂本人和宋兵团指挥机构、直属队之所以留在华中，既无关大局，也跟白崇禧没什么关系，主要是因为中央军内部的人事派系矛盾。（邱清泉服杜聿明，不服宋希濂。）之所以蒋介石调动的两个军没有派上用处，主要是因为我江汉军区给力，直接打摊了一个（28军）；桐柏、陕南军区穷追王凌云，牵制了另一个（20军）；白崇禧的拖延推诿、蒋军后勤运输系统的效率低下，等等，则是次要的原因，不应该过于强调。
不过，宋兵团的三个军（20、28、79军）都是战斗力比较差的军队。20军稍好一点也没有太多发挥，这里姑且不说。28军守城都能直接被江汉军区万人左右的地方部队消灭了军部、直属队和三分之一的兵力；79军也好不到哪里去了，1949年2月在荆门战役中又被江汉军区集中12个团两万左右的地方部队消灭了军部和两个师，军长方靖被俘、上万人被歼。这样守城都打不过江汉军区地方部队的鱼腩，就是第一时间去了淮海又有什么用呢？其结果是：要么鄂西放空被我军横扫，王凌云覆灭、武汉和四川暴露在我三个军区地方部队面前，蒋介石又不得不把部队调回来堵截；要么是我军发现调动确认鄂西敌军无力化后，干脆把江汉、桐柏、陕南的野战旅进一步东调参加淮海战役，换个地方来对付它们。试问，这些鱼腩部队守城都打不过地方部队，野战还能对付得了我军吗？又怎么能指望他们拯救黄维呢？
从中又可以看出，网络时代的某些这粉那粉抱着英雄史观、饭圈史学来粉这帅、那将是多么的可笑。他们完全没有整体的大局观，也日常忽视次要战场、地方部队，甚至有人动辄口出“千里跃进大别山失败了”、“刘邓在大别山损失了一半的人（其实野战军减少的兵力大部分用于建立鄂豫、皖西、江汉、桐柏等军区）”，把我军的胜利完全视为个别军事指挥员、个别决战成功乃至于“谍报”的结果。实质上，各地方军区不仅肃清匪徒、反革命，帮助民主政权建政，为野战军作战在后勤、情报等各方面提供了有力支撑（没有地方部队，何来解放区，又何来小推车大军？），不仅能为野战军提供后备力量（大部分野战军都是地方部队上升），不仅能在决战中配合主力作战（比如豫皖苏军区参与阻击黄维兵团，陕南12旅直接参与歼击黄维兵团，等等），也牵制乃至消灭了大量的敌人正规军。比如在这个案例中，我们看到，宋兵团完全被我陕南、桐柏、江汉三个军区牵制住，其一部（28军军部等，后来还有79军军部）更被我地方部队歼灭。没有地方部队，我军不可能取得解放战争的最终胜利。
