谢邀。
题主论述的初等证明方法如下：
1/3＝0.333...，0.333...×3＝0.999...，1/3×3＝1，所以0.999...＝1。
首先，这是一种循环论证，它建立在1/3=0.3循环的基础之上，说到底它没有正面回答1/3=0.3循环之理由。其次，我们并不能直接用3去乘0.3循环，因为无限位小数的四则运算的定义是在建立实数域之后才有的操作。要想正面回答1/3等于0.3循环需要有严格的实数定义，对于实数的定义方式有不同的方法（如戴德金分割，康托尔的柯西序列的等价类等），康托尔对于实数的定义为柯西序列的等价类，他认为满足柯西条件的有理数序列是收敛的，把所有不收敛于有理数的数定义为无理数，将有理数和无理数放在一起统称实数。同一个实数可以用不同的柯西序列去逼近，这样我们称收敛于同一实数的柯西序列为柯西序列的等价类，因此每一个实数都可以与其对应的等价类建立映射，因此，可以将柯西序列的等价类作为实数的定义方式。
这便是实数的柯西序列等价类定义的简单描述，关于实数的完备性工作是十分严格的，我只能略述一二，如有错误，欢迎指出。
