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评论区有人希望看到个例子，这里就举一个例子吧。比如说关于微积分里面的导数。
在“辩证逻辑”里，我看到过不少不同的说法，诸如“质变的量化”、“有限和无限的对立统一”等等说法。但是这些说法不但杂多且毫无共识，而且对我来说都过于模糊，更重要的是它们都浮于表面，缺乏输出能力（你没有办法用这些说法来构建微积分的基础理论）。所以我不觉得这些说法有什么意义，我不认为这些念经就是逻辑。
我这里不打算念上面的这些经，而是引用黑格尔本人的话
简言之，黑格尔的意思是，dx不是有也不是无，而是在有和无之间的“intermediate state”。有和无必须要相对而生，只有在它们的关系中我们才能谈论dy/dx。
而形式逻辑，大家都很熟悉了。
我们说一个函数 在 处是可导的，如果它的定义域存在一个包含了 开区间，使得：
存在。用 语言来说，就是对于任意一个实数 ，存在一个正实数 ，使得对任意一个不为零的 都有 可定义且
或者说，用符号语言：
这个例子就说明了两者的区别。
简单说，在黑格尔看来，“无穷小”是一个有和无的中间状态，或者用时髦的话说是有和无的对立统一。
而在形式逻辑中，有就是有，无就是无，一个变量的数值是多少就是多少，导数的含义不外乎是说，存在着这样一个极限，变量可以任意靠近它。无论我们选取多小的距离，总存在着一些数值比这个距离更加靠近这个极限。并且无论一个数值如何接近极限，在它和极限之间总存在另一个数值 - 也就是说总存在更加接近的数值。
体现在“飞矢不动”悖论中（简言之），黑格尔的说法是，飞矢在任意一个时刻，都处在“既在此处又不在此处”的矛盾之中，这个矛盾无时不在，就形成了运动。而在罗素的说法中，运动不过是在不同的时刻飞矢的位置不同罢了，而且任意两个时刻之间总存在着另一个时刻，任意两个位置之间也总存在着另一个位置。
形式逻辑的这种表述方式看起来更加技术性，并且似乎更加复杂。但是它有着无与伦比的优势：它可操作，用它可以把整个微积分的基础理论建筑起来。黑格尔的东西看起来似乎更简单，但是它仅仅停留在诠释上面。
请注意这里“辩证逻辑”所指的都是黑格尔本人的描述。评论区有人指出辩证逻辑的形式化工作以及Lawvere用范畴论表示的辩证逻辑。本人不知道这种形式化的工作能否最终完成并且成为现代形式逻辑那样的严谨且明确的、广泛应用的体系。但是这种工作如果完成了，辩证逻辑也就正式地成为形式逻辑了。感谢 @陈困情 提供的链接
以及 @似然 提供的链接
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以下为原答案：
@狄拉克 在召唤我说一下这个问题。我简单说两句，但是别400块了，我也受不起，因为我在辩证逻辑方面的阅读量比较少，说得不专业。并且那些关于黑格尔的书籍，基本上都以众说纷纭著称。所以我只有一些浅薄的了解。 请自行判断是否采信。
如果想要一些水过地皮湿的了解，推荐SEP中的“Hegel's Dialectics”词条，以及牛津通识读本系列之《黑格尔》（但是这本书翻译水平不咋样）。
首先毫无疑问，辩证逻辑不属于形式逻辑，仅就它远没有达到形式化这一点而言，它就不可能是形式逻辑。虽说从1970年代开始就有人不断地试图把辩证逻辑形式化，但是它到现在为止还差得远。
关于形式逻辑的辩证逻辑，我们可以采取这样的态度，
不论如何，辩证逻辑的尴尬之处在于，与形式逻辑的辉煌成就相比，它在数学界、计算科学界、语义学界、以及自然科学界的实际应用和输出实在是少得可怜 -如果不是完全没有的话。而形式逻辑早已经成为上述学科的普遍基础了。
当我们把辩证逻辑和形式逻辑对立起来的时候，我们就不免要受到诘问：你辩证逻辑是要推翻整个数学和科学体系吗？即使我们采用相容的态度，只是认为它比形式逻辑更“高级”，这种诘问仍然令人无法回答：你这种“高级”的逻辑怎么没有把当代数学和科学“拔高”呢？
如果我们说，辩证逻辑是可以在形式逻辑框架下构建的，先不说这个能否实现（现在有人正在做这种工作），就算是可实现的，也不是黑格尔所愿意看到的，也不是很多黑格尔的信奉者愿意看到的。因为在黑格尔的心中，它的辨证哲学无疑是高于一切其他学科的学问。从黑格尔本人看来，他是认为自己的哲学不但高于形式逻辑，而且是否定了形式逻辑。SEP中这样说（4. Is Hegel’s dialectical method logical?），
关于辩证逻辑和形式逻辑的矛盾律之间的关系，我看到过很多说法，这里只是列举一二，远不足以窥见全貌。
首先说两个拒斥黑格尔的吧：
黑格尔最著名的反对者无疑就是波普尔和罗素。波普尔说，黑格尔明显的对矛盾律的违背，使得他和他的追随者的理论
波普尔以他的证伪主义著称。在他看来经验科学的充要条件就是可证伪，而这里矛盾律就是最关键的一环。矛盾律的缺失，就意味着我们无法证伪任何理论。
我们再来看看罗素，有意思的是，罗素早年曾经是黑格尔的追随者，但是后来很快把他抛弃了。，据他自己说，主要原因是黑格尔“在数学上彻底的愚蠢”。
在黑格尔看来，矛盾是真实存在与现实之中的，最典型的就是芝诺悖论。黑格尔说，运动就是一个物体在同一时刻既在某处又不在某处。
然而，罗素对此说完全拒斥。在罗素看来，芝诺悖论在现代数学面前已经不算是什么悖论了，更不存在什么“既在此处又不在此处”这种说法。他说，
相比于黑格尔过于挑战人类思维的说法，罗素对芝诺悖论的解决方案在过去近百年中，被绝大多数数学家所认可。这个解决方案这里不详细展开，网上一搜“the at-at theory of motion”就会有很多，例如[7]
再来说几个认为辩证逻辑是一种有效的逻辑，并且与形式逻辑相容的观点吧。这一种观点大概是在那些黑格尔的追随者中的主流观点了。黑格尔的死硬分子Graham Priest 也说，即使是那些对黑格尔持有非常善意的哲学家，在当代形式逻辑的影响下，也都多多少少地认为，黑格尔所说的“矛盾”不可能是严格逻辑意义上的矛盾。比如说，Wandschneider说，辩证矛盾并不是真正的矛盾，而是一直“看起来是”的表象的矛盾。
比如说，他对黑格尔的“being-nothing”的矛盾的分析后认为，这其实是源自语言的模糊性。我们必须分清楚being指的是 Being 还是 Present，Nothing指的是Nothing还是Absence。Being就是nothing在这种意义上是正确的：它们指的是它们作为概念所拥有的的一种性质。但是在含以上它们是不同的。（请原谅我这里不知道该如何翻译这些名词）。
Inoue Kazumi 则说，黑格尔的矛盾并不违反矛盾律。它仅仅指的是当我们从不同的角度来看这个问题。这当然不违反矛盾律。比如说，维基百科中这样说：
其他答主有人举的所谓的“形式逻辑”的例子，并用它来说形式逻辑和辩证逻辑的区别，
这当然不是形式逻辑！任何一个有一丁点形式逻辑基础的人都不会认为这就是形式逻辑。这纯属误解。因为这种naive 的理解就把（这种含义上的）辩证逻辑和形式逻辑分开，这属于跑偏了。
并且，形式逻辑虽然在讨论真值问题，但是它显然并不是有些人经常念经的所谓“静止的”学问。现代整个科学大厦都是建筑在形式逻辑基础之上的，而科学的核心任务就是描述运动。那些说什么“形式逻辑认为天然地存在一个、不言而喻、不证自明的普遍标准”更加荒谬。形式逻辑本身也是在一直丰富、发展的，而不是一种不变的学问。 从最早的莱布尼兹，到布尔、康托尔、弗雷格，再到罗素、卡尔纳普、克里普克、刘易斯，事实上当代形式逻辑的发展的速度比辩证法快得多。（吐槽一句，现在的情况恰恰相反，反而是辩证法更加经常地被人抬到神坛上去）
回到原来的话题，Inoue对黑格尔说的“运动矛盾”是这样说的，黑格尔宣称的“在某一时刻既在此处又不在此处”违反矛盾律，其实是我们在用不同的视角来描述运动，而不是真正的违反矛盾律。
不过，正如我前面所说的，这类说法虽然调和了形式逻辑和辩证逻辑，大概不是黑格尔本人乐见的。因为这就会把黑格尔的东西变得trivial。黑格尔的真正意图是，辩证逻辑和形式逻辑是两个不同的逻辑体系，前者“高于”后者。
这种观点的最著名的继承者大概就是Priest了。但是他也并不否认矛盾律，而是在说，在某些情况下，我们的确可以认为矛盾律失效。理论的相容性的重要性并不应该像我们所认为的那样重要。
这一点我觉得大概支持者不会很多，有人探讨排中律的有效性（比如说直觉主义数学），但是矛盾律的有效性在质疑的人就少得多。现代逻辑中的Paraconsistent logic分支在探讨可以容许不相容的逻辑体系，以更弱的结论为代价换来逻辑体系对矛盾的容许。但是这个似乎现在争议性不小。并且更重要的是，Paraconsistent logic并不必然支持辩证逻辑。即使是它得到了大家的承认，它仍然只能缓解辩证逻辑与形式逻辑之间的冲突，但是不足以成为辩证逻辑的基础。
还听说过博弈论语义学（game semantics），不知道这和辩证逻辑有没有关系。
最后说一下我的个人愚见。我认为辩证逻辑只是一个名字（可能和小逻辑、大逻辑的书名有关吧），但它不是逻辑，而是一种形而上学。它是在18世纪末那个时代血统纯正的形而上学思辨，而逻辑不是思辨，它研究的是思辨所遵守的规律。
