余弦定理的证明，我们最早可以在《几何原本》第2卷“几何代数的基本原理”命题12以及命题13中看到证明的雏形。
以下是《几何原本》第2卷命题12以及命题13的证明：
已知三角形ABC是钝角三角形，角BAC是钝角，过点B作CA延长线的垂线BD，两线段相交于点D。
目标：证明以BC为边的正方形面积比以BA、AC为边的正方形面积之和大，大出来的面积为以CA、AD长度为边构成的矩形面积的二倍。
证明：
1、由命题4的结论可得：DC*DC=DA*DA+AC*AC+2DA*AC。（第2卷 命题4）
2、等式两边同时加上DB*DB，于是DB*DB+DC*DC=DA*DA+AC*AC+2DA*AC+DB*DB。
3、在直角三角形BDC中，BC*BC=DB*DB+DC*DC。（第1卷 命题47）
4、在直角三角形BDA中，DA*DA+DB*DB=AB*AB。（第1卷 命题47）
5、于是BC*BC=AB*AB+AC*AC+2DA*AC。
证明完毕。
说明：该命题是著名的余弦定理公式，用代数表示为：
(因为cosBAC=-AD/AB)
已知ABC是锐角三角形，过点A作BC的垂线AD。
目标：以AB为边的正方形面积比以AC、BC为边的正方形面积小，小出来的面积为以BC、DC长度为边的矩形面积的二倍。
证明：
1、由命题7的结论可得：BC*BC+DC*DC=2BC*DC+BD*BD。（第2卷 命题7）
2、两边同时加上AD*AD，于是BC*BC+DC*DC+AD*AD=2BC*DC+BD*BD+AD*AD。
3、在直角三角形ABD中，AB*AB=BD*BD+AD*AD。（第1卷 命题47）
4、在直角三角形ADC中，AC*AC=DC*DC+AD*AD。（第1卷 命题47）
4、于是，BC*BC+AC*AC=AB*AB+2BC*DC。
5、两边同时减2BC*DC，于是AB*AB=BC*BC+AC*AC-2BC*DC。
6、因此以AB为边的正方形面积比以AC、BC为边的正方形面积小，小出来的面积为以BC、DC长度为边的矩形面积的二倍。
证明完毕。
说明：该命题是著名的余弦定理公式，用代数表示为：
(因为cosACB=CD/AC)
好了，这一讲就到这里了。
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