从数学上来说，基础是自然数，然后加法和乘法，进一步有有整数和减法，引入除法后有有理数。
简单来说，有理数要么是有限位的小数，要么是整数，要么是无限的有限位循环的小数。
那么无限不循环小数呢？首先这里有一个看似很直观的认识，就是人们将有理数定义了大小关系，然后排列了起来，然后按照数本身和现实世界的视觉经验定义了「长度」，理所当然形成了一条直线。
但是，这条直线是有坑（gap）的，所谓的坑，就是无理数。例如√2、π等有实际意义的数字并不能表现为无限循环小数的形式。
从数字的角度出发，例如√2，它有实际的数学意义（可以由更基础的运算概念得出此数字），但是它又无法由更基础的运算完全地表示出来。无理数这一概念的完善本身就基于无限，故一个无限不循环小数确实不存在有限的基于自然数的表示方法，但它有有限的、基于自然数的实际意义（实际上亦有缺陷，先有乘法的定义再有的无理数，所以不能默认为乘法在无理数集上的表现等同于有理数，逻辑上来说在没有无理数时，a⨯a=2这一概念相当于默认为a为有理数，但a的性质又可以被证明与有理数的性质相违背，从而进入无理数的概念，这之中其实无中生有了无理数的乘法，好在柯西补齐了这一缺陷），所以无限不循环小数从某一方面来说它只是一个对人类有意义的概念，你说他存不存在，反正我没见过天空中飘来一串无限长而又不循环的数字。但它确实存在。
————————偏题分割线，只看到了问题没看到下面对问题的解释，以下是针对提问者的回答。
这个问题看似简单，但严格的证明亦很麻烦。从最基础的出发首先我们得构建数字的体系，大学里面数学专业实分析这门课会学。
最简单的证明：如果一个无理数是循环的（此处的循环是指从某一位开始一直到无穷无尽都是同一有限周期的重复），那么它就不是无理数而是有理数。
证（以下证明过程可以说是漏洞百出，但限于篇幅不得不如此，主要是有些东西写了也不讨喜）：
定理1.有理数可以写成两个不可约分的整数的商，可以写成两个不可约分的整数的商的数是有理数。（巨大漏洞）
推论0.有理数加或者乘有理数得到的结果还是有理数。（可由定理1证明得到）
推论1.有限位的小数是有理数（可由定理1得）
推论2.√2不可以写成两个不可约分的整数的商
（设√2=m/n，其中m，n为互质的整数，那么m^2=2⨯n^2，m易证为偶数，则m^2是4的倍数，易得n为偶数，与m、n互质相矛盾）
如果√2是无限且循环的，那么它必然可以写成有理数的形式，我们假设√2=A.BCCCCC......
其中B为有限位不循环的数有p位，C为一个有限位循环周期的节，有q位。首先A.B依据推论1，为有理数，，0.0...0CCCCCC......可以写成C/（（10^q+1）⨯10^p）的形式，由于分子分母都是有限的，所以可以约分成互质的形式（漏洞）。
由推论0和定理1可得，可以写成无限循环小数的必然是有理数。而√2已经被推论2证明不是有理数，所以它可以写成无限循环小数的猜想不成立。
证毕，无限不循环小数存在。
