向量的数量积：
这个等式恰好只是随便定义出来的规则吗，还是另有意义？
这个答案希望用尽可能易理解的语言说明这里的定义并不是随便给出的，而是必须如此。
从几何上来讲， 的意义是比较明确的，就是将一条线段投影到另一条线段，然后再将两个长度相乘，同向为正，异向为负。如果能够证明向量的数量积 是做了相同的事情，那么它们之间的等号自然是成立的。现在我希望说明向量的数量积所表达的正是同样的含义。
变换 Transformation
先忘掉课本上的公式，想像这么一个场景：
将这么一套完整的动作流程定义为一个「变换」。容易发现，这个变换跟前面所说 的意义是等价的。那么，我们现在要做的，就是证明这个变换可以用向量的点积来描述。
性质 Property
在说明这个变换就是向量点积之前，需要对它的几个性质做一个说明。
可加性：
容易理解，对两个向量的和去做一个这样的变换，与两个向量分别做该变换再求和，结果是一样的。
数乘性：
对一个向量先乘一个数（也就是拉伸）再做变换，与做变换后再乘一个数，结果是一样的。这一点其实是可加性的延伸，正如乘法是加法的延伸。
事实上，这些性质都是在说明，我们设计的这个变换是一个线性变换（linear transformation）。现在不理解这个词是什么意思没关系，重要的是它的性质。
符号 Notation
向量点积（数量积）本身可以有多种符号表达（以二维为例）：
这里取高中生最熟悉的圆括号写法。
分解 Decomposition
一个向量本身就符合可加性，可以分解为一组基向量的和：
这里 ， 。
现在我要说明，一个符号 不仅可以看作其对应向量 的表达式，还可以看作两个基向量 和 在进行变换之后的结果。
考虑一个基向量 ，对它进行前面所说的「投影再拉伸」变换后，它将会变成大小为 的标量，这恰好是向量 的第一个分坐标。
同理，另一个基向量 在变换后也会成为大小为 的标量。
如此一来，重新审视符号 ，是否有了新的认知？
最后，我们来看向量的点积：
联系之前的 ，发现点积仅仅是把 和 替换成了标量 和 ，相当于我要找 的变换结果，变成先分别找 和 的变换结果（经过「投影再拉伸」的变换， 变换为 ， 变换为 ，则 变为 ， 变为 ），再将这两个分量变换后的结果按照原先的方式相叠加（因为原先是 ，所以变换后应该是 ），从而最终得到 在变换后的结果。这个过程本质上就是利用了线性变换的可加性和数乘性。
也就是说，向量的点积 所代表的，恰恰就是对一个向量进行「投影再拉伸」的变换，所以它和三角函数视角下的、对同一件事情的另一种数学描述也必然相等：
事实上，在线性代数中，点积可以看作将高维向量压缩为一维的一种特殊的线性变换（想想上面的两个基向量在变换后都退化成了标量，任意两个向量的点积也永远是一个标量）。这个答案尽可能使用高中生能够理解的语言来展开，也是希望能够让人更好地一窥线性代数的（几何）本质。
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