实际上个人觉得，恩奇都和天之锁的关系，应该有一个渐进的过程。在蘑菇刚开始创作fate/stay night的时候，很可能并没有考虑到恩奇都=天之锁这样的设定，只是把天之锁作为闪闪降服天之公牛时候使用的秘宝。
无论是SFN游戏后来追加的语音，还是明确喊出“天之锁”这个名称的ubw剧场版（2010年），闪闪喊出的都是“天之锁”的发音，而非“恩奇都”。
随后虚渊玄负责的fate/zero（小说原文），也是单纯的将天之锁描述为“吉尔伽美什秘宝中的秘宝”，提到恩奇都的部分，只说了小恩想到自己死后闪闪将孤身一人而落泪，同样没有把恩奇都和天之锁直接联系起来。
事情开始转变，最早的端倪可能就是题主说的fha中的桥段，应该是闪闪第一次使用“朋友”来称呼天之锁，虽然纵观FHA，仍然没有将天之锁与恩奇都直接关联的描述，但是这之后，逐渐有了“用恩奇都之名来称呼天之锁”的说法。
官方首次将恩奇都和天之锁关联，应该是在被官方承认的同人创作《幻想嘉年华》的动画版中（2011年8月），其中以赛车争夺圣杯的那一集，闪闪使用天之锁束缚伊莉雅驾驶的bersercar，明确的喊出了“恩奇都”这个发音。
但是直到这里，结论应该仍然倾向于“闪闪以恩奇都之名称呼天之锁”，而非“天之锁=恩奇都本身”。
Fate/EXTRA CCC（2013年）中，恩奇都和天之锁的联系更加紧密，明确指出了恩奇都是诸神用以束缚“天之楔”吉尔伽美什的锁链，同时是“天之锁”的名称由来，但仍然没有将恩奇都直接定性为天之锁。
在这之后，恩奇都=天之锁的说法逐渐广为传播，成为了型月受众普遍接受的一个设定，但我个人当时一直纠结于其是官设还是二设，直到fgo第七章彻底落锤。
综上考虑，“恩奇都就是天之锁”这个概念，大致应是2013年Fate/EXTRA CCC之后初露端倪，在2016年末FGO第七章中完全确定的，但具体形成的时间节点在我所知的范围内则仍然是个谜……
成田良吾的fate/strange Fake（2015年1月出版）还没有看，其中关于闪闪和恩奇都的关系，成田也是直接听取的蘑菇的设想，如果在fsf中仍然没有明确的提出“恩奇都就是天之锁”，那这个概念形成的具体时间，应该就是2015-2016年了。
（也考虑过要不要专门提一个“小恩是什么时候变成天之锁”的问题，但恐怕还是只有问蘑菇本人才知道……）
总结：对于吉尔伽美什这个角色，以及和他相关故事，蘑菇一直是在《吉尔伽美什史诗》的基础上不断完善的，最终将闪闪和恩奇都从传说中单纯的挚友，升华到了“天之锁”与“天之楔”，并进一步将恩奇都设定为了天之锁本身，使得史诗原本中略显单薄的故事更加生动丰满，并且强化了两人关系中类似宿命论的厚重感。
而恩奇都=天之锁的说法，未必是在fate的故事刚开始时就有的设定，而应该是蘑菇深思熟虑之后，在2013-2016年间才确定下来的事实，因此，从之前的故事，比如题主提到的FHA或者FECCC中，得不到恩奇都就是天之锁的结论，也是很正常的。
