利用比值或根式都可以，具体看那种方便一些。
定理3.33(Root Test): 给定级数 , 取 。则
(a)若 ， 收敛；
(b)若 ， 发散；
(c)若 ，判别法失效。
证: 若 , 可以取一个数 , 使得 时有
也就是
夹逼可证得级数此时收敛。
如果 , 注意到 为 数组的上极限，因此我们总是可以找到一个子列，使得其收敛于 , 不妨说这个子列为 , 使得
因此，就有无限多个 使得 , 这样就不满足级数收敛的必要条件 ，因而级数此时发散。
对于 时失效，我们只需要考虑两个例子即可: ，这里它们的 , 但前者发散，后者收敛。
定理3.34(Ratio Test): 给定级数 ,
(a) 若 , 级数收敛；
(b) 若 , 则级数发散，其中 为某个固定的整数。
证: 如果条件(a)成立，那么可以找到一个 成立
特别地有:
也就是
比较定理，我们就可以得出收敛的结论。
而(b)同样验证对于级数收敛的必要条件不满足，因而发散。
同样对于比值判别法来说，等于1直接用前面的调和级数的两个反例来说明。
(a)
解: 对于这个级数来说，
因此根式判别法得到级数收敛，而比值判别法失效。
(b)
其中
但是
同样根式判别法得到收敛，而比值判别法失效。
备注:
定理3.37: 对于任意正数序列 ， 证: 这个结论实际上就是告诉我们比值判别法判断收敛的，根式判别法一定也判别收敛。
我们只证明第二条，第一条的证明类似的。取
如果 , 则无需证明，结论成立。
如果 有限，选择 , 则存在
特别的，我们对于
将这些不等式左右对应相乘，得到
也就是
因此就有
因此就有
因为这个式子对于所有 都成立，因此就有
命题得证。 #
幂级数: 给定复数序列 , 级数
称为幂级数。其中 称为级数的系数， 为复数。
幂级数是一种比较重要的级数，它的收敛性主要依赖于 的选择。幂级数都和一个称作收敛圆的圆相关联。
定理3.39: 给定级数 , 取 。
当 时级数 收敛，当 时级数发散。
备注: 若 。
证: 取 , 应用根式判别法:
注: 其中 称为 的收敛半径。
(a) 级数 收敛半径为 。
(b) 级数 收敛半径为 , 该级数比值判别法更方便一些。
(c) 级数 收敛半径为 。当 时，级数发散，因为通项不是无穷小量。
(d) 级数 收敛半径为 。当 是发散，对于其他的 的情形都是收敛的，关于这点在后面Abel变换后证明。
(e) 级数 收敛半径为 。当 时级数都收敛，比较判别法可证得。
定理3.41(Abel变换): 给定两个序列 , 取 。若 。那么，如果 , 则有: 证:
而右侧刚好与我们(20)的右侧相等，因而命题得证。 #
公式(20)就是所谓的部分加法公式，在研究各种 形式的级数中非常有用，特别是当 单调的情况下。接下来给出一些应用。
定理3.42(Dirichlet判别法): 假设
(a) 的部分和 为有界序列；
(b) ; 也就是序列 单调减少；
(c) 。
那么 收敛。
证: 部分和 为有界序列，不妨设 。
则给定 ,
因而证得 收敛。
注意: 上面等式证明过程中就应用到了 单调减少性，也就是 这个性质。
定理3.43(Leibniz判别法): 假设
(a) ;
(b)
(c) 。
则 收敛。
说明:
定理3.44: 设 收敛半径为1，并假设 。则 在圆 除了 点之外都收敛。
证: 取 。 因为当 时，满足定理3.42的三个条件，因而 收敛。 #
