看了类似的问题和有关的回答，为什么这么多人说“正交矩阵的转置矩阵与逆矩阵相等“是正交矩阵的定义啊？百度百科，csdn很多博客也是这样写，太坑了吧。严格地说，这是正交矩阵的性质，是进一步推出来的。
维基百科中正交矩阵的定义为：“In linear algebra, an orthogonal matrix is a square matrix whose columns and rows are orthogonal unit vectors (orthonormal vectors).“ 为了防止杠精，我补充一句，人家在后面确实接了一句“另一种表述是若一个矩阵和它的转置矩阵相乘得到单位矩阵，那么它是正交矩阵。“ 但是，你只看这句话你就很难理解正交矩阵到底是如何得到的以及为何它有这个性质。
首先，你需要理解，一个矩阵乘以一个向量可以理解成是对这个向量做了一个线性变换。那么在众多线性变换中，有一种变换具有norm preserving（向量的模长不变）这种性质，于是人们/数学家想要找出这种变换对应的矩阵。我们设这种矩阵为A，A为nxn的矩阵，对应的列向量为p1, p2, p3, ... pn，那么p1 = A*e1，p2 = A*e2，p3 = A*e3，(e1，e2等为单位向量)，以此类推。又因为这种变换是norm preserving的，所以p1，p2，.... pn的模长都为1。这就是为什么定义中说的是unit vectors。
那么为什么列向量彼此之间都是正交的呢？ 以p1和p2为例：
由此，正交矩阵被定义出来。
下面推导“正交矩阵的转置矩阵与逆矩阵相等”：
（知乎公式编辑器太难用了，我直接贴图了）
p1，p2，p3，....，pn为列向量，A的转置*A中，以第一行为例，p1的转置乘以p1 = p1点乘p1，也就是p1的模的平方。而p1的转置乘以p2 = p1点乘p2 = 0，以此类推，可得正交矩阵的转置矩阵与逆矩阵相等。
以上还有一些小的地方没有细细说明，如只证明了A的转置*A为单位矩阵，没证明A*A的转置为单位矩阵；没说明正交矩阵的行都是正交的。这些根据我上面的思路及推导，应该不难得出，就留给题主自己去试一试了。
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