这篇文章主要面向学工科的了解实变函数中的概念，以及为什么要提出这些概念，而不涉及公式的推导证明。如果需要详细了解实变函数的各种定理及推导，我个人推荐四川大学陈闯老师的实变函数课程，b站视频链接为：《实变函数 - 陈闯》。本人也是看完该老师的视频后才写下的这篇文章。在看完这篇文章后，我们会了解到Lebesgue积分、可测集、测度以及集合的势等概念。
《实变函数》这门课的主线任务其实很简单明了，就是为了克服Riemann（黎曼）积分（也就是大家学微积分时用的那个积分）的一些不足，因此引入了一种更通用的积分：Lebesgue（勒贝格）积分。整门《实变函数》课程就是在讲如何通过Lebesgue积分来积分函数的。
大家都知道，函数如果想要能够被Riemann积分，需要满足连续或者有限个间断点等条件。但在数学界中，有非常多的函数是不满足这一性质的，例如在实变函数中一个经典的例子——Dirichlet函数：
其中 表示有理数集， 表示无理数集。也就是说，这个函数的意思是函数在有理数部分取值为0，在无理数部分取值为1（也有些教材是反过来，也就是在有理数部分取1，在无理数部分取0）。其函数图像画出来长这样：
这个函数处处不连续、处处极限不存在、处处不可导，因此Riemann积分对这种函数毫无办法。
假设我们要求 这个区间的积分，即下图阴影部分的面积，我们要怎么求呢？
回想一下，如果使用Riemann积分，该怎么做呢。就是将这块区域分成无限小块区域，然后把这些区域的面积全部加起来，得到的就是这块区域的面积：
但是在这个函数里，如果这样做，不管 取多小，必然会在数轴上即包含有理数也包含无理数（可参考实数集的稠密性），由于有理数时为0，无理数时为1，那么必然取不到一个矩形，因此Riemann积分的方法无法使用。但如果我们换个思路，如下图这样分割呢：
这里， 表示在无理数集中取0到1区间构成的集合。 表示从0到1的无理数集所组成集合的“长度”。那么，以 为矩形的底，以 为矩形的高，底乘高得到面积，然后将这些矩形的面积全部加起来，就能得到整个阴影部分的面积了。
这种求阴影面积的方法，就是Lebesgue积分了。通过这种方法，能够求解数学中见到的绝大部分函数的积分。集合的“长度“的定义在Lebesgue积分中就叫做Lebesgue测度，用函数 表示，也就是说某一集合 的”长度“就是 。能够在Lebesgue测度概念下被定义”长度“的集合，就叫做Lebesgue可测集，而如果函数的定义域均为Lebesgue可测集，那么就称这个函数为Lebesgue可测函数。如果一个函数为Lebesgue可测函数，那么其就能够通过Lebesgue积分的方式得到积分。在文章后续部分中，我们都默认说的测度、可测集和可测函数分别是指Lebesgue测度、Lebesgue可测集和Lebesgue可测函数。
这里唯一的问题，就只剩下从0到1的无理数集所组成集合的“长度” ，也就是测度要怎么求了。
我们先回到实数集。对于实数集 ，其中 ，其测度 应该为多少呢？很自然，我们能想到，其测度应该为 。是的，Lebesgue测度也是这么定义的。毕竟Lebesgue积分的提出就是为了弥补Riemann积分的不足，也就是说如果某一函数Riemann积分可积，那其积分得到的结果应该和Lebesgue积分得到的结果一致。例如，对于函数 ，其通过Riemann积分以及通过Lebesgue积分如分别下图所示：
很显然，通过两种方式得到的面积都为 。
既然通过上述的定义，我们知道了 为1，那只需要减去 ，就能得到 了，毕竟 ，因此 。而由于有理数集的势为阿列夫零 ，因此其为零测集，即对于任意的 ，有 。因此我们可以知道， 。
那么，上文中提到的阿列夫零与零测集是什么呢？这里我们就要引入集合的势这一概念。
集合的势这一概念来自于格奥尔格·康托尔。说白了，集合的势就是集合元素的“数量”，只不过，它不仅能够表示有限元素的数量，还能够表示无限元素的“数量”。是的，无限也是有“数量”区分的，只不过这个“数量”是一个抽象的概念，由阿列夫零 、阿列夫 等抽象符号表示。
如何衡量不同集合之间势的大小呢？根据定义，如果存在集合 到集合 的一个双射 ，即两集合元素能够一一对应，那么就称集合 的势 等于集合 的势 。例如，有一道比较出圈的“数学”问题，问的是偶数的数量和自然数的数量哪一个更多，答案是一样多，它其实回答的就是偶数集 的势和自然数集 的势相等。解法很简单，构造 和 这样的双射就行了。
康托尔定义，所有可数集的势为 。可数集的意思就是说集合 中的元素可以被数出来，也就是说可以表示成 ，当你指定任意 时，你能说出集合 的第 个元素是什么。换句话说，如果集合 与自然数集 存在双射，那么集合 就是可数集，反之就是不可数集。
很明显，自然数集、整数集、奇数集、偶数集，它们都是可数集。有一个比较反常识的，就是有理数集也为可数集，其证明过程可以参考《有理数集和无理数集哪个大》这篇文章。同时，康托尔也证明了，在所有无限集中最小的势就是 。
而实数集是不可数集，因此康托尔定义实数集的势为 （有的教材也称之为 ）。很多集合，例如无理数集、区间 都实数集等势的，也就是说它们的势也为 。要证明 和 等势也很简单，只需要通过 将 映射到 ，再通过简单的平移和拉伸函数映射到 就行，而且也易证这两个映射都是双射。
那么在 和 之间有没有其他的势呢？目前数学界即没有找出有这样的势，也没有证明出不存在这样的势。因此，有能力的小伙伴如果证明出来了，那么就可以考虑写篇论文去投数学界最顶级的期刊了。
回到正题，Lebesgue证明，所有有限集和可数集在Lebesgue测度下都为零测集，也就是说其测度为0。因此，由于有理数集的势为 ，其为零测集，即对于任意的 ，有 。由于 ，因此 ，故有 。
那么问题来了，凭什么 时，就有 呢？这里面的内在逻辑是假设集合 和集合 不相交，那么就有 ，这样成立吗？这就引出了Lebesgue测度的可数可加性以及外测度的可数次可加性了。由于Lebesgue具有可数可加性，因此我们可以断言，对于互不相交的集合 和集合 ，有 成立。
Lebesgue测度其实是将外测度中的Lebesgue不可测集去掉得到的。外测度的测度函数可表示为 ，也就是Lebesgue测度函数加上了一个星号。
外测度和Lebesgue测度均满足非负性、单调性和平移不变性，他们唯一的区别在于外测度仅满足可数次可加性，而将其中的Lebesgue不可测集去掉后得到的Lebesgue测度就满足了可数可加性。可数次可加性指的是，对于可数个相互无交集的集合 ，有：
而可数可加性指的是
可以看出，区别仅在于一个是小于等于，一个是等于。只有当测度满足可数可加性的时候，其性质才符合我们对于测度的定义。
外测度就是一个推导出Lebesgue测度的跳板，因此这里就不多说外测度的定义以及各种性质了，具体的可以参考《从Lebesgue外测度到Lebesgue测度》这篇文章。
通过上述内容，相信大家已经对实变函数以及Lebesgue积分有了基础的了解，那我们回到最初的问题吧，即如何求解Dirichlet函数：
在 区间上积分。挺简单的，从Lebesgue积分的角度，其积分为:
结束！
